18 marca 2012r.

Lekcja 1-3.

I Semestr Liczby i zbiory.

Liczby rzeczywiste. W skład liczb rzeczywistych wchodzą liczby naturalne, liczby całkowite, liczby wymierne i liczby nie wymierne.

Liczby naturalne to wszystkie dodatnie zaczynające się od zera. (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9... itp.).

Liczby całkowite to dodatnie i ujemne. (... -4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4... itp.).

Liczby wymierne to dodatnie, ujemne i ułamki.

Liczby nie wymierne to pierwiastki oraz symbole typu liczba pi itp.

Dodawanie pisemne:

Obliczając sposobem pisemnym sumę dwóch liczb, podpisujemy jedności pod jednościami, dziesiątki pod
dziesiątkami, setki pod setkami itd. W rachunku pisemnym dodawanie rozpoczynamy od rzędu jedności. Jeśli w
pewnym rzędzie suma wynosi więcej niż 9 jednostek, to przenosimy dziesiątkę do rzędu wyższego.

Odejmowanie pisemne:

Obliczając sposobem pisemnym różnicę dwóch liczb, podpisujemy jedności pod jednościami, dziesiątki pod
dziesiątkami, setki pod setkami itd. W rachunku pisemnym odejmowanie rozpoczynamy od rzędu jedności.
W przypadku, gdy cyfra odjemnej jest mniejsza od cyfry odjemnika należy zamienić jednostki niższego rzędu
na jednostki wyższego rzędu (popularnie nazywane "pożyczaniem").     

Mnożenie pisemne:


Podczas mnożenia liczb naturalnych podpisujemy jedności pod jednościami, dziesiątki pod dziesiątkami,
setki pod setkami itd. Mnożymy ostatnią cyfrę drugiej liczby przez kolejne cyfry pierwszej,
tak powstały iloczyn zapisujemy w pierwszym wierszu. Następnie bierzemy kolejną cyfrę
drugiego czynnika i znowu mnożymy przez kolejne cyfry pierwszego czynnika.
Wynik zapisujemy przesunięty o jedną pozycję dalej w lewo niż poprzednim razem.
Postępujemy w ten sposób do wyczerpania cyfr drugiego czynnika.
Po podsumowaniu wyników cząstkowych uzyskujemy wynik mnożenia.     

Dzielenie pisemne:

http://matematyka.opracowania.pl/dziele … nocyfrowe/

Liczby pierwsze i złożone:

Liczba pierwsza – liczba naturalna, która ma dokładnie dwa dzielniki naturalne: jedynkę i siebie samą, np.

    2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, itp.

Zbiór wszystkich liczb pierwszych oznacza się symbolem P. Liczby naturalne większe od 1, które nie są pierwsze, nazywa się liczbami złożonymi. Z podanych definicji wynika, że liczby 0 i 1 nie są ani pierwsze, ani złożone.     

Kolejność wykonywania działań:
Najpierw wykonujemy działania w nawiasach potem mamy mnożenie i dzielenie a na końcu dodawanie i odejmowanie.
np. (56:7+34)x2=(8+34)x2=42x2=84

Cechy podzielności liczb:

Cechy podzielności przez 2
Liczba jest podzielna przez 2 jeżeli w rzędzie jedności ma cyfrę:0, 2, 4, 6, lub 8.
Przykłady: 24, 506, 1002, 99990
Cechy podzielności przez 3
Liczba jest podzielna przez 3 jeżeli suma jej cyfr tworzy liczbę podzielną przez 3.

Przykłady:
42 - 4+2 = 6 i 6 =2*3
783 - 7+8+3=18 i 18=6 * 3
1209 - 1+2+0+9=12 i 12=4*3
Cechy podzielności przez 4
Liczba jest podzielna przez 4 jeżeli jej dwie ostatnie cyfry tworzą liczbę podzielną przez 4..
Przykłady:
116, 340, 2036
Cechy podzielności przez 5
Liczba jest podzielna przez 5 jeżeli w rzędzie jedności ma cyfrę 0 lub 5..
Przykłady:
30, 785, 1090
Cechy podzielności przez 6
Liczba jest podzielna przez 6, gdy równocześnie dzieli się przez 2 i przez 3
Przykłady:
138 - ostatnia cyfra świadczy o podzielności przez 2,a suma cyfr 1+3+8=12 jest podzielna przez 3
Cechy podzielności przez 7
Aby dowiedzieć się czy dana liczba dzieli się przez 7, skreślamy jej ostatnie trzy cyfry, a od tak powstałej liczby odejmujemy liczbę skreśloną, jeśli ta różnica dzieli się przez siedem to i liczba jest podzielna przez 7.
Przykład:
366345 bo 366 - 345=21 i 21=3*7
Cechy podzielności przez 8
Liczba jest podzielna przez 8, gdy równocześnie dzieli się przez 2 i przez 4
Przykłady:
128 - ostatnia cyfra świadczy o podzielności przez 2, a jej dwie ostatnie cyfry tworzą liczbę podzielną przez 4
Cechy podzielności przez 9
Liczba jest podzielna przez 9 jeżeli suma jej cyfr tworzy liczbę podzielną przez 9.
Przykłady:
8784 - 8+7+8+4 = 27 i 27 = 3 * 9
909 - 9 + 0 + 9 = 18 i 18 = 2 * 9
1125 - 1 + 1 + 2 + 5 = 9 i 9 = 1 * 9
Cechy podzielności przez 10
Liczba jest podzielna przez 10, gdy równocześnie dzieli się przez 2 i przez 5
Przykłady:
2740 - ostatnia cyfra świadczy o podzielności przez 2 i przez 5.
Cechy podzielności przez 11
Jeżeli różnica pomiędzy sumą cyfr stojących na miejscach nieparzystych(licząc od prawej) i sumą cyfr stojących na miejscach parzystych jest liczbą podzielną przez 11 to i badana liczba jest podzielna przez 11.
Przykład:
61974 (4+9+6)-(7+1)=19-8=11
Cechy podzielności przez 12
Liczba jest podzielna przez 12, gdy równocześnie dzieli się przez 4 i przez 3
Przykłady:
1512 - ostatnie dwie cyfry świadczą o podzielności przez 4, a suma cyfr 1+5+1+2=9 jest podzielna przez 3.
Cechy podzielności przez 13
Aby dowiedzieć się czy dana liczba dzieli się przez 13, skreślamy jej ostatnie trzy cyfry, a od tak powstałej liczby odejmujemy liczbę skreśloną, jeśli ta różnica dzieli się przez 13 to i liczba jest podzielna przez 13.
Przykład:
461435 bo 461-435=26 i 26=2*13
Cechy podzielności przez 14
Liczba jest podzielna przez 14, gdy równocześnie dzieli się przez 2 i przez 7
Przykłady:
138 - ostatnia cyfra świadczy o podzielności przez 2 i przez 7.
Cechy podzielności przez 15
Liczba jest podzielna przez 15 podczas gdy jednocześnie dzieli się przez 5 i przez 3.
Przykład:
105 - jest zakończona cyfrą pięć, czyli dzieli się przez pięć, a jej suma cyfr dzieli się przez 3, czyli jest podzielna przez 3. Liczba dzieli się przez 15.
Cechy podzielności przez 25
Liczba jest podzielna przez 25 jeżeli jej dwie ostatnie cyfry tworzą liczbę: 25, 50, 75 lub są zerami. Przykłady:
1300, 250, 975, 67025
Cechy podzielności przez 100
Liczba jest podzielna przez 100 jeżeli jest zakończona dwoma zerami.
Przykłady: 1400, 79900, 200600

To wszystko z matematyki pozdrawiam Kajetan.



















31.03.2012r.

T: Liczby dodatnie i ujemne.

Nie chce mi się tego opisywać ale załączam materiały:

http://www.matematykam.pl/liczby_dodatnie_i_ujemne.html

Pozdrawiam;)